Směrodatná odchylka
Druhá odmocnina z rozptylumatematikaRozptylMíra toho, jak široce jsou výsledky rozložené kolem očekávané hodnoty. Vysoký u plného čísla, nízký u sázek na jednoduché šance.Číst celé →: typická vzdálenost mezi výsledkem a jeho očekáváním.
Na $1 sázky je σ 5,84 u plného čísla a 1,00 u červené. Pro sezení vynásobte sázkou a druhou odmocninou z počtu spinů.
Orientační pravidlo
Asi dvě třetiny sezení skončí do jedné σ od očekávání a 95% do dvou. U 100 spinů na červenousázkaČervenáSázka na jednoduchou šanci na 18 červených čísel. Francouzsky: rouge.Číst celé → po $10 (očekáváno −$27, σ = $100) většina sezení skončí mezi −$127 a +$73 a téměř všechna mezi −$227 a +$173. Výsledek mimo toto rozmezí není důkazem ničeho, jen toho, že to udělá jedno sezení z dvaceti.
Proč √N
Očekávaná ztrátamatematikaOčekávaná ztrátaOčekávaná hodnota krát celková vsazená částka; průměrná částka ztracená za sezení nebo za určité období.Číst celé → roste úměrně N; rozpětí roste úměrně √N. Pro malé N rozpětí převládá a sezení jsou hody mincí s mírným sklonem. Pro velké N ztráta rozpětí předběhne. Zlom, kde se očekávaná ztráta rovná jedné směrodatné odchylcematematikaSměrodatná odchylkaOdmocnina z rozptylu; typická vzdálenost výsledku od očekávané hodnoty.Číst celé →, je při N = (σ/výhoda)² = (1/0,027)² ≈ 1 370 spinů u jednoduchých šancí a (5,84/0,027)² ≈ 46 800 u plných číselsázkaPlné čísloJediné číslo, vyplácí 35:1.Číst celé →. Pod těmito čísly rozhoduje štěstí; nad nimi výhoda kasina.
Jak to používat
Chcete-li posoudit, zda bylo sezení neobvyklé, spočtěte (výsledek − EV)/σ. Hráč na červenou po $10, který skončí 100 spinů na +$150, je na (150 + 27)/100 = 1,77σ, což je výsledek jednou z 25: štěstí, ne něco pozoruhodného. Hráč na plná čísla na stejných +$150 je na 0,3σ: obyčejná noc. Stejný výsledek v dolarech znamená u různých sázek různé věci.
Směrodatná chyba podílu
Stejná aritmetika říká, kolik spinů je třeba, aby bylo v datech vidět výhodu kasina. Směrodatná chyba pozorovaného podílu výher je √(p(1 − p)/N). Pro červenou s N = 1 000: √(0,4865 × 0,5135 / 1000) ≈ 1,6%. Rozdíl mezi poctivou mincí a červenou je 1,35%, takže po 1 000 spinech je stále nelze s jistotou rozlišit. Po 10 000 je směrodatná chyba 0,5% a rozlišit lze. Proto také zjišťování vychýlení kola vyžaduje tolik spinů.
Upozornění na zešikmení
Výsledky plných čísel jsou v krátkém sezení daleko od normálního rozdělení: většina sezení je stálých −$10 na spin s občasnými skoky +$350. Pravidlo ±1σ popisuje rozpětí správně, ale tvar špatně, dokud N nejsou stovky. U sázek na jednoduché šancesázkaSázka na jednoduchou šanciČervená/černá, lichá/sudá, vysoká/nízká čísla. 18 čísel, vyplácí 1:1.Číst celé → je normální aproximace dobrá už od asi 30 spinů.
Vzorec
Otázky
Je to důkaz, že jste odehráli asi 40 sezení, nebo že jste byli v tom šťastném jednom ze čtyřiceti. Zopakujte to.
Kolísá čím dál méně: směrodatná chyba průměru je σ/√N. Při N = 10 000 je to 1% sázky.
Matematika pro radost
Zkuste je nejdřív sami. Každé řešení je skryté; rozbalte ho, až budete připraveni.
Za 100 spinů na evropském kole je jedna jednotkapenízeJednotkaZákladní sázka, ve které systém nebo hráč počítá. Progrese se popisují v jednotkách, aby platily u každého stolu.Číst celé → na červenousázkaČervenáSázka na jednoduchou šanci na 18 červených čísel. Francouzsky: rouge.Číst celé → v plusu při nejméně 51 výhrách a jedna jednotka na plné číslosázkaPlné čísloJediné číslo, vyplácí 35:1.Číst celé → je v plusu, když její číslo padne aspoň 3krát. Odhadněte obě pravděpodobnosti pomocí zvonové křivky a pak je porovnejte s přesnými odpověďmi.
Zobrazit řešení
Odpověď Červená: zvonová křivka dá 35,6% a přesná odpověď je 35,5%. Plné číslo: zvonová křivka dá 55,0% a přesná odpověď je 50,9%. U červené zkratka funguje, u jednoho čísla mine.
Červená: výher je v průměru 100 × 18/37 = 48,6 se směrodatnou odchylkou √(100 × 18/37 × 19/37) = 5,0. V plusu znamená 51 nebo víc; polovina cesty, 50,5, leží 0,37 směrodatné odchylky nad průměrem a zvonová křivka nad ni dává 35,6%. Součet přesných pravděpodobností 51, 52 … 100 výher dá 35,5%.
Plné číslo: zásahů je v průměru 100/37 = 2,70 se směrodatnou odchylkou √(100 × 1/37 × 36/37) = 1,62. Tři a více zásahů znamená víc než 2,5, tedy 0,12 směrodatné odchylky pod průměrem: podle zvonové křivky 55,0%. Přesně je to 1 minus pravděpodobnosti 0, 1 a 2 zásahů, 6,5% + 17,9% + 24,7%, a zbude 50,9%.
Zvonová křivka potřebuje dost výsledků na obou stranách průměru. Červená je po 100 spinech má; číslo, které v průměru padne méně než třikrát, ne. Křivka dokonce dává 8,7% na „žádný zásah“, kde skutečná pravděpodobnost je 6,5%. Taylor (2021) staví binomické rozdělení a zvonovou křivku vedle sebe stejně.
Pro odlehčení
Jedno sezení z dvaceti je mimo dvě sigma. Někdo je na okraji vždycky.
Zdroje
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.