Úloha: limit stolu
Martingale se $10 u stolu s limitem $500. Jak často se zlomí, kolik ztratí, když se zlomí, a pomůže zvýšení limitu?
Šest proher za sebou ho zlomí: 1,8% na cyklus, asi 60% sezení o 100 spinech. Zlom stojí $630. Zvýšení limitu na $5 000 činí zlom vzácnějším (0,25% na cyklus) a větším ($5 110). Očekávaná ztráta na vsazený dolar je 2,70% při jakémkoli limitu.
Úloha
Hráč vsadí $10 na červenousázkaČervenáSázka na jednoduchou šanci na 18 červených čísel. Francouzsky: rouge.Číst celé → a po každé prohře zdvojnásobí, po výhře se vrátí na základ. Maximum stolu je $500. (a) Kolik po sobě jdoucích proher progresistrategieProgreseJakékoli pravidlo, které mění sázku podle předchozích výsledků. Negativní progrese ji zvyšují po prohrách, pozitivní po výhrách.Číst celé → zlomí? (b) Jaká je pravděpodobnostmatematikaPravděpodobnostMíra toho, jak možný je určitý výsledek, od 0 do 1 nebo od 0% do 100%. Jedno číslo: 1/37 = 2,70%.Číst celé → na cyklus? (c) Kolik se při zlomu ztratí? (d) Jak limit $5 000 změní odpovědi? (e) Udělá nějaký limit systém ziskovým?
Řešení (a)–(c)
Sázky: 10, 20, 40, 80, 160, 320. Sedmá by byla 640 > 500, takže šest proher ji zlomí. (b) p(prohra) = 19/37 u červené; (19/37)⁶ = 0,0183, asi 1,8% na cyklus. Cyklus trvá v průměru asi dva spiny, takže sezení o 100 spinech má zhruba 50 cyklů a p(alespoň jeden zlom) ≈ 1 − 0,9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, což je 63 základních jednotekpenízeJednotkaZákladní sázka, ve které systém nebo hráč počítá. Progrese se popisují v jednotkách, aby platily u každého stolu.Číst celé →, proti $10, které se cyklus snažil vyhrát.
Řešení (d)
Při $5 000: povoleny jsou sázky do 2 560; desátá sázka, 5 120, je odmítnuta. Devět proher ji zlomí: (19/37)⁹ ≈ 0,25% na cyklus, asi 11% sezení o 100 spinech. Ztráta při zlomu: 10 + 20 + … + 2 560 = $5 110. Hráč si koupil vzácnější katastrofu za cenu větší. Za mnoho sezení jsou očekávané náklady zlomů p × ztráta ≈ 0,0183 × 630 = $11,5 na cyklus při limitu $500 a 0,0025 × 5 110 = $12,8 při $5 000; je to v rámci zaokrouhlení totéž číslo a je to očekávaná ztrátamatematikaOčekávaná ztrátaOčekávaná hodnota krát celková vsazená částka; průměrná částka ztracená za sezení nebo za určité období.Číst celé → cyklu minus $10, které vydělají vyhrávající cykly.
Řešení (e)
Ne. Očekávaná ztráta na cyklus = (očekávaná celková sázka v cyklu) / 37 při jakémkoli limitu, protože každá sázka je −1/37 sama sebe. Limit jen rozhoduje, jak se ztráta rozdělí mezi mnoho malých výher a málo velkých proher. Bez limitu a s nekonečným bankrollempenízeBankrollCelková částka vyhrazená na hru. Správa bankrollu znamená rozhodnout, jak velkou jeho část riskovat na jednu sázku a na jedno sezení.Číst celé → by progrese „fungovala“ v tom smyslu, že by se nikdy nezlomila, a také by vsadila neomezenou částku s očekávanou ztrátou 2,70% této neomezené částky. Limit stolustůlLimit stoluPovolená minimální a maximální sázka. Právě maximum zastavuje progrese se zdvojováním.Číst celé → není to, co brání MartingalustrategieMartingaleProgrese, která po každé prohře sázku zdvojnásobí. Co dělá a co nedělá, najdete v sekci Strategie.Číst celé → ve fungování. Aritmetika je.
Dva skutečné stoly
Thorpův příklad je stůl s minimální sázkou $1 a maximem $1 000, u kterého hráč doufá, že po dolaru vyhraje $30 na večeři. Sázky 1, 2, 4 … 512 dovolují deset sázek, takže deset proher za sebou progresi zlomí: jednou za 785 cyklů na evropském kole (jednou za 613 na americkém), a to za $1 023. Všech třicet cyklů uspěje v 96,2% případů. Ve zbylých 3,8% hráč ztratí asi $1 000 a průměrný výsledek večera je −$9,17, což je přesně 1/37 z $339, které třicet cyklů v průměru vsadí. Stůl s minimem $5 a maximem $2 000 se neliší: sázky až do $1 280 dovolují devět sázek a zlom přijde jednou za 403 cyklů na evropském kole (jednou za 323 na americkém) a stojí $2 555.
Bohatý hráč
Dejte progresi místo nízkého limitu hluboký bankroll: 1 000 jednotek, základ jedna jednotka a 1 000 spinů na červenou, přičemž se začíná znovu od jedné jednotky, kdykoli by další zdvojnásobení bylo víc, než kolik zbývá. Simulovali jsme milion takových večerů. Na evropském kole jich 52% skončí v zisku, 21% přijde o všechno a průměrný výsledek je −124 jednotek. I ve hře bez nulykoloNulaJediná zelená přihrádka, kterou nepokrývá žádná sázka na jednoduchou šanci, na tucet ani na sloupec; zdroj výhody kasina. Také: jedna nula, 0.Číst celé →, kde je každá sázka spravedlivá, by v zisku skončilo jen asi 60%. Obvyklý večer je malá výhra; průměr zaplatí večery, které skončí na nule.
Poučení
Kasina nastavují limity, aby omezila vlastní rozptylmatematikaRozptylMíra toho, jak široce jsou výsledky rozložené kolem očekávané hodnoty. Vysoký u plného čísla, nízký u sázek na jednoduché šance.Číst celé →, ne aby porazila systémy. Porazit Martingale je vedlejší efekt, který rádi mají, a aritmetika by ho porazila tak či tak. Hráč, který si myslí, že problémem je limit, našel útes a spletl si ho se svahem.
Vzorec
Otázky
Umožní vám přežít k vyššímu limitu, kde je zlom vzácnější a větší. Očekávaná ztráta na dolar se nemění.
Sázky 10, 30, 70, 150, 310: limit $500 je zasažen po pěti prohrách a zlom stojí $570. Stejných 2,70%.
Aby jeden hráč nemohl vsadit víc, než může rezerva kasina bez potíží vyplatit. Řízení rozptylu.
Matematika pro radost
Zkuste je nejdřív sami. Každé řešení je skryté; rozbalte ho, až budete připraveni.
MartingalestrategieMartingaleProgrese, která po každé prohře sázku zdvojnásobí. Co dělá a co nedělá, najdete v sekci Strategie.Číst celé → začíná na $100 na červenousázkaČervenáSázka na jednoduchou šanci na 18 červených čísel. Francouzsky: rouge.Číst celé → a dovoluje si nejvýš n sázek na cyklus: po n prohrách za sebou to vzdá a začne znovu. Zapište průměrný výsledek jednoho cyklu jako vzorec v n a vyčíslete ho pro 5, 6 a 7 sázek na evropském kole.
Zobrazit řešení
Odpověď Průměr je 100 × (1 − (38/37)ⁿ): −$14,26 pro 5 sázek, −$17,35 pro 6 a −$20,52 pro 7. Víc povolených sázek dělá průměrný cyklus horším, ne lepším.
Cyklus vyhraje $100, pokud neprohrají všechny sázky, k čemuž dojde s pravděpodobností qⁿ, kde q = 19/37. Když prohrají všechny, sázky 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ dají dohromady 100 × (2ⁿ − 1). Průměr je tedy 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
Zde 2q = 38/37, o něco víc než 1, takže (2q)ⁿ s n roste a průměr klesá: n = 5 dává 1,1426 a −$14,26; n = 6 dává 1,1735 a −$17,35; n = 7 dává 1,2052 a −$20,52. Delší žebřík končí ztrátou méně často, ve 3,6%, 1,8% a 0,9% cyklů, ale každá ztráta je dvakrát větší a každým cyklem projde stolem víc peněz, přičemž každá sázka stojí 2,70%.
Na americkém kole je 2q = 40/38 a čísla jsou −$29,24, −$36,04 a −$43,20 (Taylor, 2021). Ve hře bez nulykoloNulaJediná zelená přihrádka, kterou nepokrývá žádná sázka na jednoduchou šanci, na tucet ani na sloupec; zdroj výhody kasina. Také: jedna nula, 0.Číst celé → je 2q = 1 a každý cyklus má průměr přesně nula, ať je žebřík jakkoli dlouhý.
„Velký Martingale“ (grand Martingale) po prohře zdvojnásobí sázku a přidá jednu jednotkupenízeJednotkaZákladní sázka, ve které systém nebo hráč počítá. Progrese se popisují v jednotkách, aby platily u každého stolu.Číst celé →, takže sázky jdou 1, 3, 7, 15, 31 … O kolik jste v zisku, když první výhra přijde při 1., 2., 3. nebo k-té sázce? Při jednotce $10 a maximu $500: jak často se cyklus zlomí a kolik cyklus v průměru stojí?
Zobrazit řešení
Odpověď Výhra při k-té sázce vám nechá zisk k jednotek: +1, +2, +3 a tak dále. Při $10 a $500 se cyklus zlomí po pěti prohrách, ve 3,57% cyklů, s výsledkem −$570. V průměru cyklus ztratí $2,32 ze vsazených $85,73: 2,70%.
Sázka číslo k činí 2ᵏ − 1 jednotek: 1, 3, 7, 15, 31. Prvních k − 1 sázek dá dohromady 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. Výhra při k-té sázce vyplatí 2ᵏ − 1, takže cyklus skončí v zisku (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k jednotek: jedna jednotka navíc za každou prohru před výhrou.
Při $10 za jednotku jsou sázky $10, $30, $70, $150 a $310; další, $630, je nad maximem $500. Pět proher za sebou, (19/37)⁵ = 3,57%, stojí 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
Průměr: výhry přinesou $10 × k s pravděpodobností (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 pro k = 1 až 5 a zlom vezme $570 s pravděpodobností 3,57%; dohromady −$2,32. Vsazené peníze činí v průměru $85,73 na cyklus a 2,32/85,73 = 2,70%. Obyčejný Martingale u stejného stolu se zlomí po šesti prohrách, v 1,83% cyklů, s výsledkem −$630, a ztratí $1,74 ze vsazených $64,20: opět 2,70%.
Hráč chce hrát Martingale na červenou s první sázkou $1 u stolu s limitem $1 000, takže je možných deset sázek: $1, $2, $4 a tak dále až po $512. Jak často cyklus prohraje všech deset, jak dlouho to v průměru trvá a jak často takhle skončí večer o 200 sázkách?
Zobrazit řešení
Odpověď Cyklus prohraje všech deset zhruba jednou z 784, což stojí $1 023. To je v průměru asi 1 600 sázek a večer o 200 sázkách narazí na zeď zhruba v 11% případů. Cyklus přesto v průměru ztratí $0,31 ze vsazených $11,31: 2,70%.
Sázka na červenou prohraje s pravděpodobností 19/37, nula započtena. Deset za sebou: (19/37)¹⁰ ≈ 0,00128, asi 1 z 784. Sázky 1 + 2 + 4 + … + 512 dají dohromady $1 023.
Cyklus trvá v průměru 2,05 sázky, takže 784 cyklů zabere asi 1 600 sázek. Počítáno spin po spinu se šňůra deseti proher objeví někde ve 200 sázkách v 11,3% případů.
Mezi katastrofami hráč vyhrává $1 za cyklus: asi $783 před tou špatnou, pak −$1 023, za celý úsek zhruba −$240. Na cyklus: 1 × (1 − 0,00128) − 1 023 × 0,00128 ≈ −$0,31. Vsazené peníze na cyklus: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11,31. A −0,31/11,31 = −2,70%.
Pro srovnání první sázka $10 při limitu $500, šest sázek: zeď přijde jednou za 55 cyklů a večer o 200 sázkách na ni narazí v 84% případů. Vyšší limit dělá krach vzácnějším a větším, ne levnějším.
Pro odlehčení
Vzácnější a větší, při každém limitu. Součin je konstantní.
Zdroje
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. „Optimal gambling systems for favorable games.“
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.