Úloha: narozeninové kolo
Kolik spinů, než se některé číslo zopakuje? Mnohem méně, než většina lidí hádá.
Problém narozenin na kole o 37 přihrádkáchvybaveníPřihrádkaJedna z 37 očíslovaných přihrádek na rotoru. Také: kapsa, jamka.Číst celé →: už po 8 spinech je pravděpodobnost, že se některé číslo objevilo dvakrát, vyšší než poloviční. Hráči čtou opakování jako vzorce; jsou to očekávané chování poctivého kola.
Úloha
Roztáčejte poctivé evropské kolo. Po kolika spinech přesáhne pravděpodobnostmatematikaPravděpodobnostMíra toho, jak možný je určitý výsledek, od 0 do 1 nebo od 0% do 100%. Jedno číslo: 1/37 = 2,70%.Číst celé →, že se alespoň ve dvou spinech objevilo stejné číslo, jednu polovinu? Většina hráčů tipuje někde kolem 18 nebo 19, polovinu z 37. Odpověď je 8.
Řešení
Spočtěte pravděpodobnost, že se nic neopakuje, a odečtěte ji od jedné. Po k spinech je p(všechna různá) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). Pro k = 8: 1 × 0,973 × 0,946 × 0,919 × 0,892 × 0,865 × 0,838 × 0,811 ≈ 0,44, takže p(nějaké opakování) ≈ 0,56. Pro k = 14 je to 0,93; pro k = 20 je to 0,996. Intuice selhává, protože počet dvojic spinů roste jako k² a shodovat se může kterákoli dvojice.
Proč na tom u stolu záleží
Tabule výsledků s posledními 20 čísly téměř vždy ukáže alespoň jedno opakování, často dvě nebo tři. Hráči vidí „17 padla dvakrát za deset spinů“ a usoudí, že 17 je horká; aritmetika narozenin říká, že opakování během deseti spinů nastane v 74% případů a opakované číslo je náhodné. Vzorec je skutečný; význam ne.
Navazující úloha
Kolik spinů, než se určité číslo, řekněme 17, objevilo dvakrát? To je jiná otázka s mnohem větší odpovědí: očekávané čekání je 74 spinů a pravděpodobnost dvou výskytů čísla 17 během 20 spinů je asi 10%. Rozdíl mezi „nějaké číslo se zopakuje“ (8 spinů) a „toto číslo se zopakuje“ (74 spinů) je celý rozdíl mezi vzorcem, kterého si všimnete zpětně, a předpovědí, kterou uděláte předem.
Zkuste si to
Odehrajte v Demo hře deset spinů a podívejte se na historii. Obvykle tam bude opakování. Spusťte to znovu. Opakované číslo bude jiné. Udělejte to desetkrát a viděli jste problém narozeninmatematikaProblém narozeninKolik lidí je potřeba, aby dva z nich pravděpodobně měli narozeniny ve stejný den, nebo kolik spinů, než se nějaké číslo pravděpodobně zopakuje. Na kole se 37 přihrádkami stačí 8 spinů na pravděpodobnost větší než polovina.Číst celé →; udělejte to tisíckrát (simulátory to umějí) a změřili jste ho.
Vzorec
Otázky
Přesně, jen s 37 přihrádkami místo 365 dnů. 23 lidí dává u narozenin 50%; 8 spinů dává u kola 56%.
50% po asi 19 spinech. Pořád běžné.
Ne. Tisíce spinů z jednoho kola by ano; opakování nikdy.
Matematika pro radost
Zkuste je nejdřív sami. Každé řešení je skryté; rozbalte ho, až budete připraveni.
Tabule výsledků vedle amerického kola ukazuje posledních 16 spinů. Jak pravděpodobné je, že se na ní žádné číslo neobjeví dvakrát?
Zobrazit řešení
Odpověď Asi 2,5%: zhruba 39 tabulí ze 40 ukazuje aspoň jedno opakování.
Postupujte spin po spinu. První spin může být cokoli. Druhý se mu musí vyhnout: 37 možností z 38. Třetí se musí vyhnout oběma: 36 z 38. Šestnáctý se musí vyhnout patnácti číslům: 23 z 38.
Vynásobte: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0,0246.
Vzácná je tabule bez opakování. Tabule s opakováním o kole nic neříká.
Jaká je pravděpodobnost, že v deseti spinech na evropském kole padne 17 přesně pětkrát? Že nějaké číslo, kterékoli, padne pětkrát nebo víckrát? A že nějaké číslo padne aspoň třikrát ve čtyřech spinech?
Zobrazit řešení
Odpověď 17 přesně pětkrát: 1 z 315 576. Nějaké číslo pětkrát nebo víckrát: zhruba 1 z 8 333. Nějaké číslo třikrát nebo víckrát ve čtyřech spinech: 1 z 349.
17 pětkrát: vyberte, kterých pět z deseti spinů, 252 způsobů, každý s pravděpodobností (1/37)⁵ × (36/37)⁵. Dohromady 1 z 315 576.
Nějaké číslo: každé z 37 čísel má pravděpodobnost 1 z 308 325 na pět a více zásahů, což dá 37 z 308 325, tedy 1 z 8 333. Vzácný případ dvou čísel s pěti zásahy je započtený dvakrát, ale jeho odečtení na této přesnosti nic nezmění.
Třikrát ve čtyřech spinech: pro jedno číslo 4 × 36 + 1 = 145 z 37⁴ možných výsledků; pro kterékoli z 37 čísel 145/37³ = 1 z 349.
Wizard of Odds odpověděl na verze těchto otázek pro kolo se dvěma nulamikoloNulaJediná zelená přihrádka, kterou nepokrývá žádná sázka na jednoduchou šanci, na tucet ani na sloupec; zdroj výhody kasina. Také: jedna nula, 0.Číst celé →; naše čísla pro takové kolo jsou 1 z 359 275, 1 z 9 243 a 1 z 368. Rozdíl mezi „17“ a „nějakým číslem“ je zase problém narozeninmatematikaProblém narozeninKolik lidí je potřeba, aby dva z nich pravděpodobně měli narozeniny ve stejný den, nebo kolik spinů, než se nějaké číslo pravděpodobně zopakuje. Na kole se 37 přihrádkami stačí 8 spinů na pravděpodobnost větší než polovina.Číst celé →: překvapit vás může 37 způsoby.
Pro odlehčení
Něco se opakuje brzy. To něco je náhodné.
Zdroje
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Ask the Wizard”, roulette questions.