Pravděpodobnost šňůr
Dlouhé šňůry jedné barvy jsou běžné. Pro další spin jsou také bez významu.
Pět červených za sebou: 2,7%. Deset: 0,074%. Při sezení o 200 spinech se šňůra šesti stejné barvy objeví častěji, než se neobjeví.
Jak často přichází šňůra proher
Sázka na jednoduchou šanci na kole s jednou nulou prohrává v 19 spinech z 37. Každý řádek udává pravděpodobnost, že daná řada spinů celá prohraje, a kolik do té chvíle prohrál hráč Martingalu, který po každé prohře sázku zdvojnásobí.
| proher v řadě | šance | asi 1 z | dosud prohráno | další sázka |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51,4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26,4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13,5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7,0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3,6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1,8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0,94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0,48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0,25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0,13% | 784 | $1 023 | $1 024 |
| 11 | 0,065% | 1527 | $2 047 | $2 048 |
| 12 | 0,034% | 2974 | $4 095 | $4 096 |
| 13 | 0,017% | 5792 | $8 191 | $8 192 |
| 14 | 0,0089% | 11279 | $16 383 | $16 384 |
| 15 | 0,0046% | 21965 | $32 767 | $32 768 |
Pravděpodobnost je 19/37 vynásobená sama sebou jednou za každou prohru a počítá se od jednoho daného spinu. Dlouhé sezení má mnoho spinů, u kterých taková šňůra může začít, takže za večer je mnohem pravděpodobnější, než naznačuje jeden řádek.
Jedna šňůra
PravděpodobnostmatematikaPravděpodobnostMíra toho, jak možný je určitý výsledek, od 0 do 1 nebo od 0% do 100%. Jedno číslo: 1/37 = 2,70%.Číst celé →, že dalších k spinů bude všechno červenásázkaČervenáSázka na jednoduchou šanci na 18 červených čísel. Francouzsky: rouge.Číst celé →, je (18/37)ᵏ. Dva: 23,7%. Pět: 2,7%. Deset: 0,074%, zhruba 1 z 1 350. Dvacet: 1 z 1,8 milionu. Šestadvacet, rekord z Monte Carla: 1 ze 137 milionů. To jsou pravděpodobnosti konkrétní šňůry začínající v konkrétním spinu, což je otázka, kterou si téměř nikdo ve skutečnosti neklade.
V sezení
Otázka, kterou lidé myslí, zní „objeví se někde v mém sezení šňůra délky k?“ a odpověď je mnohem větší než (18/37)ᵏ, protože sezení o 200 spinech nabízí téměř 200 míst, kde může šňůra začít. Šňůra šesti a více stejné barvy, červené nebo černésázkaČernáSázka na jednoduchou šanci na 18 černých čísel. Francouzsky: noir.Číst celé →, se v sezení o 200 spinech objeví asi v 94% případů; osmi a více asi ve 47%; deseti a více asi ve 14%. Určíte-li barvu předem, pravděpodobnosti klesnou, na asi 75%, 27% a 7%. Hráč, který sedí celý večer, uvidí dlouhé šňůry každý večer.
Proč na tom Martingale záleží
Každá negativní progresestrategieProgreseJakékoli pravidlo, které mění sázku podle předchozích výsledků. Negativní progrese ji zvyšují po prohrách, pozitivní po výhrách.Číst celé → má délku šňůry, která ji zlomí: šest proher při základu $10 a limitu $500, deset u systému FibonaccistrategieFibonacciProgrese, která se řídí posloupností 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…: po prohře jeden krok vpřed, po výhře dva kroky zpět.Číst celé →, pět u ztrojnásobování sázek na tuctysázkaTucet1–12, 13–24 nebo 25–36, vyplácí 2:1.Číst celé →. Pravděpodobnost šňůry šesti proher na jednoduché šance je (19/37)⁶ ≈ 1,8% na pokus a sezení o 200 spinech obsahuje snad 100 pokusů, takže zlom přijde zhruba ve čtyřech sezeních z pěti takové délky. Pravděpodobnosti šňůr jsou důvodem, proč útes není vzácný.
Horká a studená čísla
Stejná aritmetika platí pro plná číslasázkaPlné čísloJediné číslo, vyplácí 35:1.Číst celé →. Ve 300 spinech je očekávaný počet na číslo 8,1; směrodatná odchylkamatematikaSměrodatná odchylkaOdmocnina z rozptylu; typická vzdálenost výsledku od očekávané hodnoty.Číst celé → je asi 2,8. Nějaké číslo padne 15krát a nějaké 2krát čistě náhodou, pokaždé. Tabule výsledků zvýrazňující „horká“ čísla zvýrazňuje horní okraj normálního rozdělení. Laboratoř vysvětluje, kolik spinů je třeba, než něco znamená horké číslomýtusHorké čísloČíslo, které v poslední době padalo častěji, než se očekává. Na poctivém kole nic nepředpovídá.Číst celé → (tisíce, z jednoho určeného kola).
Nezávislost je celá podstata
Šňůra deseti červených nečiní černou pravděpodobnější a nečiní pravděpodobnější ani červenou. Obojí je 18/37. Šňůry jsou vlastností náhodných posloupností a podezřelá by byla jejich nepřítomnost: posloupnost 200 spinů bez šňůry delší než čtyři by byla mnohem silnějším důkazem manipulace než posloupnost se šňůrou dvanácti.
Vzorec
Otázky
Slavná je šňůra 26 černých v Monte Carlu 18. srpna 1913. O 32 červených za sebou se v roce 1943 psalo v jednom americkém kasinu. Obojí je v souladu s náhodou, vzhledem k tomu, kolik spinů kasina odehrají.
Je to tak či tak 18/37. Vsaďte, co říká váš plán, nebo nevsázejte nic.
Ne. Vychýlení se projevuje tím, že některé přihrádkyvybaveníPřihrádkaJedna z 37 očíslovaných přihrádek na rotoru. Také: kapsa, jamka.Číst celé → padají častěji během tisíců spinů, ne šňůrami jedné barvy.
Matematika pro radost
Zkuste je nejdřív sami. Každé řešení je skryté; rozbalte ho, až budete připraveni.
Kolik spinů evropského kola je v průměru potřeba, než každé z 37 čísel padne aspoň jednou?
Zobrazit řešení
Odpověď V průměru asi 155 spinů; medián je 147.
Počítejte čekání po jednom novém čísle. První spin vždy ukáže nové číslo. Když jste viděli 1 číslo, je 36 přihrádekvybaveníPřihrádkaJedna z 37 očíslovaných přihrádek na rotoru. Také: kapsa, jamka.Číst celé → z 37 nových, takže na další nové číslo čekáte v průměru 37/36 spinu. Když jste viděli k čísel, čekáte 37/(37 − k).
Sečtěte čekání: 37/37 + 37/36 + 37/35 + … + 37/1 = 37 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/37) ≈ 37 × 4,20 = 155,5 spinu.
Většina z toho připadá na konec. Samotné poslední číslo trvá v průměru 37 spinů a posledních pět asi 85. Na americkém kole dá tentýž součet asi 161. Je to úloha sběratele kupónů; Wizard of Odds uvádí stejný průměr.
Kolik různých čísel můžete očekávat ve 37 spinech evropského kola, tedy v jednom spinu na každou přihrádku?
Zobrazit řešení
Odpověď Asi 23,6. Zhruba třetina čísel, asi 13, nepadne vůbec.
Vezměte jedno číslo, třeba 17. V každém spinu nepadne s pravděpodobností 36/37, takže všech 37 spinů mine s pravděpodobností (36/37)³⁷ ≈ 0,363.
Každé číslo má stejnou pravděpodobnost, takže v průměru chybí 37 × 0,363 ≈ 13,4 čísla a 37 − 13,4 ≈ 23,6 čísla padne, mnohá z nich dvakrát i víckrát.
Hráči rulety tomu říkají zákon třetin. Není to žádný zákon, jen aritmetika opakování: v úseku tak dlouhém, kolik má kolo přihrádek, zůstane zhruba třetina čísel stranou, na poctivém kole stejně jako na kterémkoli jiném. Na 38 přihrádkách je podíl také (37/38)³⁸ ≈ 0,363; u velkého kola se ustálí blízko 1/e ≈ 0,368.
Přítel vám ukáže dva seznamy 50 barev, červenásázkaČervenáSázka na jednoduchou šanci na 18 červených čísel. Francouzsky: rouge.Číst celé → nebo černásázkaČernáSázka na jednoduchou šanci na 18 černých čísel. Francouzsky: noir.Číst celé →, každý prý z kola s vynechanými nulamikoloNulaJediná zelená přihrádka, kterou nepokrývá žádná sázka na jednoduchou šanci, na tucet ani na sloupec; zdroj výhody kasina. Také: jedna nula, 0.Číst celé →. Jeden změní barvu 25krát a jeho nejdelší šňůra je šest. Druhý ji změní 35krát a nikdy nemá šňůru delší než tři. Který byl vymyšlený?
Zobrazit řešení
Odpověď Ten druhý. Skutečný seznam změní barvu asi 24 nebo 25krát. Seznam s 35 změnami se objeví asi jednou z 500 seznamů a seznam bez šňůry delší než tři asi dvakrát ze 100.
Každá nová barva buď zopakuje předchozí, nebo se změní, napůl a napůl, takže 49 příležitostí ke změně dá v průměru 24,5 změny, plus minus asi 3,5. Třicet pět je o tři takové kroky nad průměrem; poctivé kolo vytvoří tolik změn asi jednou z 500 seznamů.
Šňůry vyprávějí totéž. Skutečný seznam 50 barev má šňůru čtyř a více asi v 98% případů a jeho nejdelší šňůra je nejčastěji pět nebo šest.
Lidé, kteří mají vymyslet náhodný seznam, mění barvu příliš často, protože šňůra čtyř nebo pěti jim připadá jako vzorec. Taylor (2021) ukazuje stejné prozrazení v seznamech hodů mincí, které si vymysleli studenti: skutečná náhoda je šňůrovitější, než lidé čekají.
Kniha historek z kasin vypráví o hráči, jehož číslo padlo pětkrát za sebou, a označuje to za rekord. Jak vzácné to je na evropském kole? A jak často by se to mělo stát někde v jednom kasinu s 20 stoly, u nichž se kolo roztočí 40krát za hodinu, ve dne v noci?
Zobrazit řešení
Odpověď Předem určené číslo pětkrát za sebou: 1 z 69 milionů. Jakékoli číslo, které po prvním padnutí padne ještě čtyřikrát: 1 z 1,87 milionu. V tom kasinu proběhne asi 7 milionů spinů za rok, takže by šňůru pěti mělo vidět třikrát nebo čtyřikrát za rok.
Předem určené číslo padne při každém spinu s pravděpodobností 1/37, takže pět za sebou má pravděpodobnost (1/37)⁵ = 1 z 69 343 957. Nikdo ale číslo předem neurčuje. Ať padne první cokoli, další čtyři spiny ho musí zopakovat: (1/37)⁴ = 1 z 1 874 161.
20 stolů × 40 spinů × 24 hodin × 365 dní = 7 008 000 spinů za rok. Každý spin může šňůru zahájit, takže kasino může očekávat 7 008 000/1 874 161 ≈ 3,7 šňůry pěti za rok.
Žádný oficiální rekord tohoto druhu neexistuje a ani není potřeba: vzácná událost u jednoho stolu je v celém kasinu běžná a historky se vyprávějí o stolu, kde se to stalo. Příběh u Goldmana (2007) se odehrává na kole se dvěma nulami, kde čísla vycházejí 1 z 79 milionů a 1 z 2,09 milionu.
Pro odlehčení
Dlouhé šňůry jsou to, jak náhoda vypadá.
Zdroje
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.