Dlouhodobá konvergence
Jak se průměr ustaluje na −2,70% a proč to trvá déle, než naznačuje intuice.
Průměrná ztráta na spin konverguje k −1/37, jak se spiny hromadí, přičemž rozpětí se zmenšuje jako 1/√N. Po 1 000 spinech na červenou je průměr typicky do ±3% svého očekávání.
Zákon velkých čísel
Průběžný průměr nezávislých sázek směřuje k očekávané hodnotěmatematikaOčekávaná hodnotaPrůměrný výsledek jedné sázky v dlouhém období. U každé standardní evropské sázky −1/37 vsazené částky.Číst celé →. Po N spinech sázek na jednoduché šance po jedné jednotcepenízeJednotkaZákladní sázka, ve které systém nebo hráč počítá. Progrese se popisují v jednotkách, aby platily u každého stolu.Číst celé → má průměrný výsledek na spin očekávání −1/37 a směrodatnou odchylkumatematikaSměrodatná odchylkaOdmocnina z rozptylu; typická vzdálenost výsledku od očekávané hodnoty.Číst celé → 1/√N. Při N = 100 je toto rozpětí 10% sázky, téměř čtyřikrát víc než signál 2,7%. Při N = 1 000 je 3,2%, zhruba stejně jako signál. Při N = 10 000 je 1% a výhoda je jasně viditelná. Výhoda je v jednom sezení neviditelná a za rok nezaměnitelná.
Co konverguje a co ne
Průměr na spin konverguje. Součet ne: s rostoucím N se vzdaluje od nuly, v očekávání asi o 2,7% z N, s rozpětím √N kolem toho. Hráč, který odehrál 10 000 spinů po $10, má očekávanou ztrátu $2 700, plus minus $1 000. Průběžný podíl červenýchsázkaČervenáSázka na jednoduchou šanci na 18 červených čísel. Francouzsky: rouge.Číst celé → se už dávno ustálil poblíž 48,65%; průběžný zůstatek se neustálil nikde.
- p10 −$440
- p25 −$280
- medián −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
Proč intuice selhává
Lidé čekají, že se výhoda projeví rychle, protože 2,70% zní hodně, a čekají, že se dlouhé šňůry „vyrovnají“, protože zákon velkých číselmatematikaZákon velkých číselPrůměr nezávislých výsledků konverguje k očekávané hodnotě, jak roste počet pokusů.Číst celé → říká, že průměry konvergují. Obě intuice špatně odhadují měřítko: výhoda je malá vzhledem k rozptylumatematikaRozptylMíra toho, jak široce jsou výsledky rozložené kolem očekávané hodnoty. Vysoký u plného čísla, nízký u sázek na jednoduché šance.Číst celé → jednoho spinu (σ = 1 jednotka proti EV = 0,027), takže trvá (1/0,027)² ≈ 1 400 spinů, než se stane viditelnou na úrovni jedné sigmy. A konvergence průměru nic nedělá pro stažení součtu zpět; jen zřeďuje minulé výkyvy.
Konvergence u jiných sázek
U plných číselsázkaPlné čísloJediné číslo, vyplácí 35:1.Číst celé → je σ = 5,84, takže stejný výpočet dává (5,84/0,027)² ≈ 47 000 spinů, než výhoda dosáhne jedné sigmy. Hráč na plná čísla může hrát roky, aniž by se výhoda v jeho vlastních záznamech dala odlišit od štěstí, a přitom platí přesně stejných 2,70% jako hráč na červenou, který ji vidí během týdnů.
Důsledek pro testování systémů
Kdokoli tvrdí, že systém funguje, by měl být schopen to ukázat na 10 000 nebo více spinech s doloženým kladným průměrem. Při 1 000 spinech je kladný průměr u sázek na jednoduché šance při nulové hypotéze událostí o pravděpodobnosti jedna z pěti; při 100 spinech je to téměř hod mincí. Simulátory na tomto webu odehrají 2 000 sezení zvolené délky za sekundu, což je víc důkazů než jakékoli svědectví.
Vzorec
Otázky
PravděpodobnostmatematikaPravděpodobnostMíra toho, jak možný je určitý výsledek, od 0 do 1 nebo od 0% do 100%. Jedno číslo: 1/37 = 2,70%.Číst celé →, že budete ještě někdy v plusu, s hraním klesá k nule. Součet klesá bez omezení.
Ne. Znamená to, že minulé výkyvy se stávají menším zlomkem většího vzorku.
U jednoduchých šancí asi 10 000, než je výhoda jasně viditelná. U plných čísel asi 50 000.
Matematika pro radost
Zkuste je nejdřív sami. Každé řešení je skryté; rozbalte ho, až budete připraveni.
Dva přátelé hrají 20 kol spravedlivé hrymatematikaSpravedlivá hraHra, v níž žádná strana nemá výhodu: každá sázka má očekávanou hodnotu nula.Číst celé →, házení mincí nebo červenousázkaČervenáSázka na jednoduchou šanci na 18 červených čísel. Francouzsky: rouge.Číst celé → proti černésázkaČernáSázka na jednoduchou šanci na 18 černých čísel. Francouzsky: noir.Číst celé → s vrácením sázky při nulekoloNulaJediná zelená přihrádka, kterou nepokrývá žádná sázka na jednoduchou šanci, na tucet ani na sloupec; zdroj výhody kasina. Také: jedna nula, 0.Číst celé →, a průběžně si počítají skóre. Spočítejte kola, během nichž vede jeden, nebo druhý (při rovnosti se kolo připíše tomu, kdo vedl těsně předtím). Co je pravděpodobnější: že se o vedení podělí 10 kol na 10, nebo že jeden z nich povede všech 20?
Zobrazit řešení
Odpověď Že jeden povede všech 20 kol, je mnohem pravděpodobnější: 35,2%, počítáno pro kteréhokoli z nich, proti 6,1% pro vyrovnaných 10 na 10.
Pravděpodobnost, že spravedlivé průběžné skóre je po 2k kolech vyrovnané, je u = C(2k, k)/2²ᵏ: 0,246 po 10 kolech a 0,176 po 20. Klasický výsledek, zákon arkussinu, říká, že pravděpodobnost, že jeden určený přítel vede přesně 2k z 2n kol, je u(2k) × u(2n − 2k).
Vedení všech 20: u(20) × u(0) = 0,176 pro každého z přátel, 35,2% pro kteréhokoli. Rovné rozdělení: u(10) × u(10) = 0,246² = 6,1%, nejméně pravděpodobné rozdělení ze všech.
Ve spravedlivé hře tedy vedení mění majitele jen zřídka. Hráč, který byl celý večer v plusu, nebo celý večer v minusu, neviděl nic neobvyklého a neříká to nic o kole ani o dovednosti. Epstein (2013) uvádí tentýž zákon pro delší hry: v polovině případů vede šťastnější strana víc než 85% hry.
Pro odlehčení
Průměr konverguje. Součet prostě odchází.
Zdroje
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.